KAJIAN KEKUATAN Z-MODUL Q SEBAGAI INSPIRASI MUNCULNYA KONSEP DAN SIFAT DALAM TEORI MODUL

Abstract

Abstrak. Grup bilangan rasional (Q, +) sebagai modul atas daerah integral bilangan bulat (Z, +,˙) (Z-modul Q) merupakan contoh modul khusus yang mempunyai sifat-sifat yang unik yang sangat penting dalam munculnya konsep dan sifat dalam aljabar, khususnya dalam teori modul. Sifat yang sudah sangat dikenal adalah Z-modul Q merupakan modul torsi yang tidak bebas, dan lebih jauh modul Z-modul Q/Z merupakan modul torsi tak hingga. Dalam paper ini akan dipersentasikan hasil kajian Z-modul Q dalam kaitannya dengan struktur modul faktorisasi tunggal. Diperoleh bahwa Z-modul Q mempunyai sifat tidak memiliki elemen primitif yang kemudian berakibat dalam Z-modul Q tidak terdapat submodul siklik yang dibangun oleh suatu elemen primitif yang merupakan submodul murni. Selanjutnya akan dikaji peran Z-modul Q dalam kaitannya dengan konsep D-submodul fraksional dan konsep M -ideal fraksional dalam teori modul aritmatik. Lebih jauh akan dikaji sifat Z-modul Q dalam kaitannya dengan modul injektif dan modul miskin. Diperoleh sifat Z-modul Q mempunyai sifat keterbagian, keinjektifan, dan merupakan amplop injektif bagi setiap submodul Q. Sebagai ring, Q merupakan ring semisederhana dan Artinian sehingga setiap modul atas Q merupakan modul miskin.