IDENTIFIKASI BASIS GRÖBNER DALAM IDEAL RING POLINOMIAL

Abstract

Dalam suatu ring atau lapangan, dapat didefinisikan suatu polinomial yang koefisien-koefisiennya merupakan elemen dari ring atau lapangan tersebut. ð‘…[ð‘‹] dan ð¹[ð‘‹] merupakan suatu ring yang disebut ring polinomial. Misalkan ð¼=〈ð‘“1,ð‘“2,…ð‘“ð‘ âŒªâŠ†ð¹[ð‘‹], dengan ð‘“ð‘–≠0 untuk setiap ð‘–={1,2,3,…,ð‘ }. Suatu polinomial ð‘“∈ð¹[ð‘‹] merupakan elemen di ð¼ jika ð‘“ dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari ð‘“ð‘– yaitu ð‘“ð‘–=ð‘ž1ð‘“1+ð‘ž2ð‘“2+⋯+ð‘žð‘ ð‘“ð‘  dengan ð‘žð‘–∈ð¹[ð‘‹]. Untuk mengubah ð‘“ menjadi kombinasi linier, maka dapat digunakan algoritma pembagian polinomial bervariabel banyak tetapi dengan syarat sisa pembagian adalah nol. Pada polinomial bervariabel banyak, sisa pembagiannya tidak tunggal tergantung pada urutan ð‘“1,ð‘“2,…,ð‘“ð‘ . Dikatakan tidak tunggal karena jika sisa pembagiannya nol, tetapi setelah merubah urutan ð‘“1,ð‘“2,…,ð‘“ð‘  akan dihasilkan sisa pembagian yang bukan nol. Oleh karena itu, untuk menyelesaian masalah keanggotaan ideal tersebut, maka harus dicari himpunan pembangun yang lain dari ð¼ yang disebut basis Gröbner. Basis Gröbner pada ð¼ adalah himpunan semua polinomial {ð‘”1,ð‘”2,…,ð‘”ð‘ } dalam ð¼ sedemikian sehingga untuk sebarang ð‘“∈ð¼ terdapat ð¿ð‘‡(ð‘”ð‘–) habis membagi ð¿ð‘‡(ð‘“) dengan ð‘–=1,2,…,ð‘ . Dari hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa setiap ideal yang merupakan ideal polinomial dalam ð¹[ð‘‹] mempunyai basis Gröbner. Untuk mengetahui apakah suatu basis merupakan basis Gröbner maka digunakan kriteria Buchberger. Sedangkan untuk mendapatkan basis Gröbner dari suatu ideal polinomial digunakan algoritma Buchberger.