IDENTIFIKASI BASIS GRÖBNER DALAM IDEAL RING POLINOMIAL
Abstract
Dalam suatu ring atau lapangan, dapat didefinisikan suatu polinomial yang koefisien-koefisiennya merupakan elemen dari ring atau lapangan tersebut. ð‘…[ð‘‹] dan ð¹[ð‘‹] merupakan suatu ring yang disebut ring polinomial. Misalkan ð¼=〈ð‘“1,ð‘“2,…ð‘“ð‘ 〉⊆ð¹[ð‘‹], dengan ð‘“ð‘–≠0 untuk setiap ð‘–={1,2,3,…,ð‘ }. Suatu polinomial ð‘“∈ð¹[ð‘‹] merupakan elemen di ð¼ jika ð‘“ dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari ð‘“ð‘– yaitu ð‘“ð‘–=ð‘ž1ð‘“1+ð‘ž2ð‘“2+⋯+ð‘žð‘ ð‘“ð‘ dengan ð‘žð‘–∈ð¹[ð‘‹]. Untuk mengubah ð‘“ menjadi kombinasi linier, maka dapat digunakan algoritma pembagian polinomial bervariabel banyak tetapi dengan syarat sisa pembagian adalah nol. Pada polinomial bervariabel banyak, sisa pembagiannya tidak tunggal tergantung pada urutan ð‘“1,ð‘“2,…,ð‘“ð‘ . Dikatakan tidak tunggal karena jika sisa pembagiannya nol, tetapi setelah merubah urutan ð‘“1,ð‘“2,…,ð‘“ð‘ akan dihasilkan sisa pembagian yang bukan nol. Oleh karena itu, untuk menyelesaian masalah keanggotaan ideal tersebut, maka harus dicari himpunan pembangun yang lain dari ð¼ yang disebut basis Gröbner. Basis Gröbner pada ð¼ adalah himpunan semua polinomial {ð‘”1,ð‘”2,…,ð‘”ð‘ } dalam ð¼ sedemikian sehingga untuk sebarang ð‘“∈ð¼ terdapat ð¿ð‘‡(ð‘”ð‘–) habis membagi ð¿ð‘‡(ð‘“) dengan ð‘–=1,2,…,ð‘ . Dari hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa setiap ideal yang merupakan ideal polinomial dalam ð¹[ð‘‹] mempunyai basis Gröbner. Untuk mengetahui apakah suatu basis merupakan basis Gröbner maka digunakan kriteria Buchberger. Sedangkan untuk mendapatkan basis Gröbner dari suatu ideal polinomial digunakan algoritma Buchberger.
Downloads
References
[2] D. Cox dan J. Little, Ideals, Varieties, and Algorithm: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, New York: Springer, 2007.
[3] D. Malik, S. Mordeson dan M. Sen, Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, 1997.
[4] J. A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, Heath and Company, 1990.
[5] J. Gilbert dan L. Gilbert, Elements of Modern Algebra, Brookscole, 1999.
[6] I. M. Sulandra, Implemetasi Basis Grobner dalam menentukan Keanggotaan Ideal di "Cas Singular", Malang: FMIPA UNM, 2009.
[7] J. Watkins, Topics in Commutative Ring Theory, Colorado Spring, 2006.
[8] M. Weiss, Computing Grobner Bases in Python with Buchberger's Algorithm, 2010.
Authors who publish with this Journal agree to the following terms:
- Author retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a creative commons attribution license that allow others to share the work within an acknowledgement of the work’s authorship and initial publication of this journal.
- Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangement for the non-exclusive distribution of the journal’s published version of the work (e.g. acknowledgement of its initial publication in this journal).
- Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g. in institutional repositories or on their websites) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published works.